Eine etwas stabilere Lösung könntest Du durch "ovalisierung" einer leicht größeren Mutter erhalten. Dazu bräuchtest Du eine Sechskantmutter M12x1 (Feingewinde). Die spannst Du quer in den Schraubstock und quetschst sie in kleinen Schritten zusammen, bis sie stramm auf dem Gewinde hält. Die Mutter muss dazu die passende Gewindesteigung von 1mm haben und nicht zu groß sein, damit nicht zuviel vom Gewinde ohne Kontakt bleibt.

Ovalisierte Muttern gibt es für manche Zwecke fertig zu kaufen, man verwendet sie als Sicherungsmuttern für Hochtemperaturanwendungen, wo übliche Nyloneinsätze schmelzen würden.
Wie der Name schon sagt, sind sie leicht oval und sitzen recht stramm auf dem Gewinde.

Echte industriell gefertigte, ovalisierte Muttern sind natürlich sehr haltbar und normalerweise auch gehärtet. Aber als ich mal eine 3/8"-Mutter für eine Shimano-Nabe aus einer M10-Mutter improvisiert hatte, klappte das ganz gut.
Das Problem wird nur sein, das man eben eine größere Mutter brauch und das wahrscheinlichste wird eine M12 sein. Das ist schon ein Stück größer. Diese dann in M12x1 zu bekommen, ist ebenfalls schwierig. Extra gehärtet darf sie aber nicht sein, also eher Messing oder Edelstahl, denn gehärteter Stahl (8.8 oder mehr) wird eher brechen als sauber verformen.

Also passt der Tipp nur, wenn Du solch eine Mutter findest, aber nichts passendes.

Übrigens, das zöllige Maß für die benötigte Mutter wäre 13/32 x 26tpi. Ist aber außer am Fahrrad keine sehr gängige Schraubengröße.